Stærsti samdeilir

Article on other languages:

• قاسم_مشترك_أكبر
• Най-голям_общ_делител
• Màxim_comú_divisor
• Největší_společný_dělitel
• Greatest_common_divisor
• Plej_granda_komuna_divizoro
• Máximo_común_divisor
• بزرگترین_مقسوم_علیه_مشترک
• Suurin_yhteinen_tekijä
• Plus_grand_commun_diviseur
• מחלק_משותף_מקסימלי
• Faktor_persekutuan_terbesar
• Massimo_comun_divisore
• 最大公約数
• Didžiausias_bendrasis_daliklis
• Lielākais_kopīgais_dalītājs
• Grootste_gemene_deler
• Største_felles_divisor
• Największy_wspólny_dzielnik
• Máximo_divisor_comum
• Наибольший_общий_делитель
• Največji_skupni_delitelj
• Највећи_заједнички_делилац
• Största_gemensamma_delare
• ตัวหารร่วมมาก
• Найбільший_спільний_дільник
• عاد_اعظم
• Ước_số_chung_lớn_nhất
• גרעסטער_געמיינזאמער_טיילער
• 最大公因數

Stærsti samdeildir tveggja náttúrulegra talna er stærsta tala sem gengur upp í báðar tölurnar. Einfaldast er að finna stæsta samdeili með því að frumþátta báðar tölurnar (sjá frumþáttun), finna hvaða frumþættir eru sameiginlegir báðum tölunum og margfalda þá saman. Þá er stærsti samdeilir fundinn. Stærsti samdeilir náttúrulegu talnanna a og b er táknaður með ssd(a,b).

Dæmi:

Finnum ssd(121,363)

Byrjum á að frumþátta: 121 = 11 ∙ 11 og 363 = 11 ∙ 11 • 3

Sameiginlegu frumþættirnir eru 11 og 11, þ.e. 11 ∙ 11 = 121

Þá er ssd(121,363) = 121

Tvær náttúrulegar tölur eru sagðar ósamþátta ef stærsti samdeilir þeirra er 1. Stærsti samdeilir tveggja talna er 1 ef engir frumþættir eru sameiginlegir.

Þær tölur og aðeins þær tölur sem ganga upp í ssd(a,b) ganga upp í báðar tölurnar a og b.

Minnsta samfeldi tveggja náttúrulegra talna er minnsta talan sem báðar tölurnar ganga upp í. Minnsta samfeldi náttúrulegu talnanna a og b er táknað með msf(a,b). Einfalt er að finna minnsta samfeldi. Tölurnar tvær eru raktar í frumþætti. Þá er búin til ný tala sem er margfeldi allra frumþátta úr tölunum tveimur, þó þannig að ef sami þáttur kemur fyrir í báðum tölum kemur hann aðeins einu sinni fyrir í nýju tölunni. Nýja talan er minnsta samfeldið.

Ef a og b eru náttúrulegar tölur þá gildir að margfeldi minnsta samfeldis og stærsta samdeilis er jafnt margfeldi a og b, þ.e. ssd(a,b) ∙ msf(a,b) = a ∙ b

Þetta verður augljóst þegar haft er í huga hvernig stærsti samdeilir og minnsta samfeldi eru búin til úr frumþáttum talnanna a og b. Í msf(a,b) eru allir þættir talnanna tveggja, en þeir sem eru sameiginlegir koma bara einu sinni fyrir. Í ssd(a,b) eru sameiginlegu frumþættirnir og margfeldi ssd(a,b) og msf(a,b) inniheldur því alla frumþætti talnanna a og b og tvo af hverjum sameiginlegum þætti. Margfeldi ssd(a,b) og msf(a,b) er því margfeldi allra frumþátta talnanna tveggja sem er það sama og margfeldi talnanna sjálfra.

Heimild

• Stærðfræðivefur Kennaraháskóla Íslands, Guðmundur Birgisson, júní 2001